KMO BIBLE 한국수학 올림피아드 바이블 프리미엄 1 정수론

10판 1쇄 개정판

수학은 자연과학을 가장 잘 표현하는 언어이다. 우리가 일상생활을 하면서 늘가까이 느끼고 같이숨쉬고 있는 학문이다. 이와같이 기본적이면서도 가장 중요한 학문인 수학에 관심있고, 열정있는 학생들을 위하여 각 나라마다 수학올림피아드가 매년 개최된다. 수학영재를 발굴하고 자신의 수학적 재능을 표현할수 있는 수학올림피아드를 준비하는 학생, 과학영재교육원 시험준비생, 특목고 준비생들에게 조금이나마 도움이 되길 바라는 마음으로 이책을 출간하게 되었다.

1 나누어떨어짐(정제, Divisibility) 1

1.1 수학적귀납법의원리 3
1.2 나누어떨어짐 10
1.3 최대공약수와유클리드호제법 43
1.4 소수와산술의기본정리 68
1.5 디오판틴방정식 107
1.6 가우스함수(최대정수함수) 109
1.7 연습문제 129
연습문제풀이 152

2 합동(Congruence) 177

2.1 합동과법 179
2.2 일차합동식의해법 186
2.3 오일러의φ-함수와오일러의정리 189
2.4 윌슨의정리와페르마의작은정리 199
2.5 중국인의나머지정리 204
2.6 2차잉여 210
2.7 연습문제 216
연습문제풀이 234

3 부정방정식의해법 253

3.1 인수분해나식의변형을이용하는형태 255
3.2 잉여계를이용한형태 276
3.3 무한강하법 289
3.4 부등식의영역을이용하는방법 295
3.5 연습문제 305
연습문제풀이 313

4 종합문제 321

종합문제풀이 367

참고문헌 415

찾아보기 421

머리말

KMO BIBLE프리미엄시리즈를 발간하면서

수학은 자연과학을 가장 잘 표현하는 언어입니다.우리가 일상생활을 하면서 늘가까이 느끼고 같이숨쉬고 있는 학문입니다. 이와같이 기본적이면서도 가장 중요한 학문인 수학에 관심있고, 열정있는 학생들을 위하여 각 나라마다 수학올림피아드가 매년 개최됩니다. 수학영재를 발굴하고 자신의 수학적 재능을 표현할수 있는 수학올림피아드를 준비하는 학생, 과학영재교육원 시험준비생, 특목고 준비생들에게 조금이나마 도움이 되길 바라는 마음으로 이책을 출간하게 되었습니다.

한국수학올림피아드(The Korea Mathematical Olympiad, KMO)는 대한수학회에서 주관하며, 중등부, 고등부 구분하여 1차시험과 2차시험으로나누어져 있습니다. 2006년도부터1차시험은 주관식 단답형20문항, 100점 만점으로 구성되어 있고, 각 문항의 배점은 난이도에 따라 4점, 5점, 6점으로 구성되어 있으며, 답안은 OMR 카드에 주관식 단답형(000∼999)으로 기재하게 되어 있습니다. 2차시험은 오전, 오후로 나눠서 2시간30분 동안 4문항씩 총 8문항, 56점 만점으로 구성되어 있고, 각 문항의 배점은 7점이며, 주관식서술형으로 되어 있습니다. 본 대회의 출제범위는 국제수학올림피아드(IMO)의 출제범위와 동일하며 기하, 정수론, 함수 및 부등식, 조합 등 4분야로 나누어 문제가 출제됩니다. (미적분은 제외됩니다.) 중등부에서는 고등부보다는 다소 적은 수학적 지식을 갖고도 풀 수 있는 문제가 출제됩니다. 중등부 한국수학올림피아드 응시 지원대상은 (1) 중학교 재학생 또는 이에 준하는 자, (2) 탁월한 수학적 재능이있는 초등학생입니다. 또한 중등부와 고등부 입상자에게 한국수학올림피아드2차 시험응시자격을 부여하고, 한국수학올림피아드 최종시험은 KMO 2차시험 고등부 금, 은, 동상수상자 및 중등부 금상 이상 수상자에게 응시자격이 부여됩니다.

국제수학올림피아드(InternationalMathematical Olympiad, IMO)는 1950년에 창설되었고, 한나라의 기초과학 또는 과학교육 수준을 가늠하는 국제 청소년 수학경시대회로서 대회를 통하여 수학영재의 조기발굴 및 육성, 세계수학자 및 수학영재들의 국제친선 및 문화교류, 수학교육의 정보교환 등을 목적으로 합니다. 1959년 루마니아에서 동구권 7개국 참가로 시작된 본 대회는 국제과학올림피아드 중에서도 가장 전통 있는 대회로 참가국이 구주, 미주, 아주지역으로 점차 확대되었습니다. 우리나라는 지난 1988년 제29회 호주대회에 처음 참가하였고, 제41회 국제수학올림피아드(IMO-2000)은 대전에서 개최 하였습니다.

매년 참가하여 꾸준히 좋은 성적을 거두고 있으며 6명의 대표를 선출하여 참가하고 있습니다. 본 교재의 시리즈는 제1권 정수론, 제2권 대수(함수 및 부등식), 제3권 기하, 제4권 조합, 제5권 1차 모의고사, 제6권 2차 모의고사 총6권으로 구성되었으며, 각권마다 KMO에 필요한 개념정리를 통해서 KMO 1차시험과 2차시험에 필요한 필수 내용을 학습할 수 있게 하였고, KMO를 비롯한 IMO, 미국, 캐나다, 러시아 등 세계 여러나라의 올림피아드문제와 국내 유명대학에서 실시하고 있는 수학경시대회의 문제를 예제, 연습문제, 종합문제에포함시켜 실전 감각을 높이고자 하였습니다. 또한, 연습문제와 종합문제에는 별도의표시(★)를 하여 문제의 난이도 및 중요도를 알수 있게 하였습니다.

본 교재의 출판을 맡아주신 (주)씨실과날실 관계자 여러분께 심심한 사의를 표합니다. 아무쪼록 이책이 수학올림피아드 준비하는 학생 여러분들에게 조금이나마 도움이 되길 바랍니다. 끝으로, 수학올림피아드, 영재학교 대비 교재 등의 출간에 열정적으로 일 하시다가 갑작스럽게 운명을 달리하신 故박정석사장님의명복을빕니다.

저자일동